在 2017 年內,SAT 數學總共進行了 12 次考試,雖說難度稱不上有多高,但仍不乏難題。下面就依據幾個考試重點難點對整個一年的數學題目來一次大盤點。
<2018.1更新>
兩個變數間若存在一次方程式 ( 為非零實數, 為任意實數)的關係,則兩者呈線性關係。根據官方指南,一次函數、方程式、不等式等組成了 Heart of Algebra 領域,是 SAT 數學考試的重點,題量在總共 58 題中占到 1/3 以上。
這一領域中大部分題目並不難,但是有一類問題會帶來一些挑戰:這些題目考察的是線性關係在實際應用中所體現出的意義,它們往往不涉及複雜計算,卻要求同學們十分熟悉線性關係的性質,並將其同題目選項中的文字或是圖表聯繫起來。
1.1 線性關係的核心性質:自變數每增加一定量,應變數便會增加一個固定量。換句話說,應變數的增加量與自變數的增加量,這兩者之間的比值是一個非零的常數,而此常數便是斜率。
2017 年之前的 OG 練習題及真題中,考察線性關係意義的題目平均每套卷子出現 1.7次,而在 2017 年的真題中,此類題目平均每套卷子出現至少 1.6 次。
兩個變數間若存在指數方程式(為非零實數,為不等於 1 的正數,為正數)的關係。根據官方指南,指數函數、二次函數和方程式、多項式及函數的表示和變換組成了 Passport to Advanced Math領域,平均每次考試中,題量在總共 58 題中占 12 題左右。
類似於一次函數的題目,許多指數函數的題目考察的是指數關係在實際應用中所體現出的意義,它們往往不涉及複雜計算,卻要求同學們十分熟悉指數關係的性質,並將其同題目選項中的文字或是圖表聯繫起來。而相對於一次函數而言,指數函數更為複雜,同學們也更不熟悉,因此算得上是一個難點,做錯的會比較多。
2.1 指數關係的核心性質:自變數每增加一定量,應變數便會乘以一個固定倍數,或者說,應變數便會增加一個固定百分比的成長率。
2.2 指數關係的實際意義:中,截距的實際意義是指時的值;底數的實際意義是指每增加時所乘的倍數。當時,即中,指的是每增加 1 時所乘的倍數。
2.3 倍數與成長率的關係:
一個量乘以倍,相當於增加了。 即成長率=倍數-1,反之,倍數=成長率+1。
2017年之前的 OG 練習題及真題中,考察指數關係意義的題目平均每套卷子出現 1.1次,而在 2017 年的真題中,此類題目平均每套卷子出現至少 1 次。雖然數量上未見增長,但是難度卻有不小提升,上述末三題都對許多學生造成了不小的困擾。Passport to Advanced Math領域中,二次函數也是一個考點。其涉及函數性質、圖形及方程式的題目往往並不難,但類似於一次及指數函數,有一類二次函數的題目考察的是二次函數的實際應用,它們往往不涉及複雜計算,卻要求同學們十分熟悉二次函數不同形式在應用題中體現出的實際意義。有不少同學對於這一塊不是很熟悉。
3.1在二次方程式的一般式中,常數為截距,有實際意義:當時的值。
3.2 在二次方程式中,實數和為截距或根,有實際意義:當時的值。
Passport to Advanced Math領域中,多項式也是一個考點,它涉及多項式的根,因式、餘式定理,圖形性質等概念。雖然關於多項式的考題出現的次數相對不多,但由於多項式在高中數學課本中課程較少,因此它們往往也會帶來不小挑戰。
4.1 根與因式的關係:實數為多項式的一個根(即時,),等價於為的一個因式。
4.2 多項式函數圖形與軸的交點:為的一個因式(為正整數),若 為奇數,則函數圖形會與軸相交於點並穿過軸;若為偶數,則函數圖形會與軸相交於點卻不穿過軸。
4.3 多項式函數圖形的最終走向:若若多項式的最高次項係數為正,則當趨近正無窮時,也趨近正無窮,圖形右端向上;若多項式最高次項係數為負,則當趨近正無窮時, 就趨近負無窮,圖形右端向下。若多項式最高次數為偶數,則當分別趨近正負無窮時,分別趨近符號相同的無窮,圖形左右兩端同向;若多項式最高次數為奇數,則當分別趨近正負無窮時,分別趨向符號相反的無窮,圖形左右兩端異向。
4.4餘式定理:
多項式除以的餘數為(為任意實數)。
除了 Heart of Algebra 以及 Passport to Advanced Math 以外,SAT 數學還有另一大領域:Problem Solving and Data Analysis,平均每次考試中,其題量在總共 58 題中占 17 題左右。此領域首先就要求同學們會計算平均數、中位數、眾數、全距這 4 個統計量,並能理解標準差這個統計量的意義以及極端值對平均數、中位數的影響。
5.1 平均數很容易受極端值的影響,使其明顯大於或小於中位數。
5.2 樣本數據分佈越集中於樣本平均值附近,則樣本標準差越小;樣本數據分佈越離散於樣本平均值外,則樣本標準差越大。
Problem Solving and Data Analysis 另有一類題目涉及到統計結論的得到及推廣。這類題目不涉及計算,僅考觀念,但由於絕大部分學生在課堂上都沒接觸過相關內容,因此特別容易做錯。
6.1 實驗性研究中,若要得到有效的因果結論,處置必須是隨機分配給各個實驗物件的;換句話說,實驗組和對照組必須是隨機分配出來的。若不滿足這個條件,則無法得到有效的因果性結論,僅能得到結果。
6.2 觀察性研究無法得出因果性結論,但能得出結果。
6.3 在任何抽樣研究中,若要將研究結果推廣至某個母體,樣本必須是從這個母體中隨機抽樣出來的。若不滿足這個條件,該樣本則無法代表此母體。
6.4 一組隨機樣本的平均值為,在一定信心水準下,其邊際誤差為,代表可以估計母體平均值會位於這個區間內。
6.5 一般來說,在一定的信心水準下,同一個母體的兩組隨機樣本中,樣本數較多的樣本,其邊際誤差會較小。
SAT數學中部分題目之所以稱得上是難題,主要有三個原因:
1. 由於其中涉及到的數學意義不容易理解透徹,同學們難以掌握;
2. 由於其中涉及的數學概念不常見,同學們在準備時容易忽略;
3. 由於題目中的文字表述或圖表對於部分學生會有理解上的挑戰。
而從總體來看,2017 年的數學真題中:
1. 在考察一次函數實際意義的題目中,有 2 題的難度稍稍偏高,原因在於上述之三;
2. 在考察指數函數實際意義的題目中,有 3 題的難度顯著偏高,原因在於上述之一;
3. 在考察二次函數實際意義的題目中,有 1 題的難度稍稍偏高,原因在於上述之二;
4. 在考察多項式的題目中,有 4 題的難度稍稍偏高,原因在於上述之二;
5. 在考察統計推論的題目中,有 4 題的難度稍稍偏高,原因在於上述之二。
相較於最初的 4 套官方指南練習題及 2016 年的真題,2017 年的數學真題中有幾個值得留意的趨勢:
1. 考察指數函數實際意義的題目難度有所顯著增高;
2. 考察二次函數實際意義的題目難度稍有增高;
3. 考察多項式的題目難度有不小增高;
4. 考察統計量性質以及統計推論的題目數量有顯著上升,難度也有不小增高。
出現了更多更難一點的題目,這也導致了今年個別考試中出現了錯一題也能拿滿分的現象。
上述趨勢也告訴我們,在備考未來的 SAT 數學時,應該花更多時間在指數函數的意義、多項式及統計推論這三個方面。其中指數函數的意義在理解上會更難以掌握;而多項式和統計推論則更偏向對概念的知曉熟悉,其理解起來並不十分困難。
最後不得不再強調一下官方指南對於準備 SAT 數學的指導意義。在此書中,關於函數的部分明確列出了漸近線、函數奇偶性等幾個至今尚未考過的概念;關於統計推論的部分則用大篇幅解釋了上述 5.1、6.1至6.6等大部分學生不熟悉的性質,其中 6.5 在 2017年 12 月首次考到,而 6.6 仍未考到過。這些或許能為我們窺見未來 SAT 數學提供一扇窗。
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